무한의 기능

조금 의견을 덧붙이자면, 그냥 무한히 많다는 건 의미가 없고, 규칙이 있는데 무한이 많다 정도가 수학이 다루는 범위일 겁니다. 수학에서 말하는 규칙은 딱 하나로 수렴되고요. 어떤 둘의 비율이죠. 여기서 제논의 역설이 관련이 되고요. 미분을 유도하는 과정을 보면 극한이 쓰이는데, 이게 사실 미분만 그런 건 아니고 원주율 같은 걸 구할 때도 비슷한 방법론이 동원됩니다. 무슨 말이냐, 차원을 구사할 때 공통적으로 쓴다는 거죠. 

물론 말씀하신대로 무한 개념은 원리상 차원을 직접 기술할 수 없으므로 보조 도구로 쓰이는 것입니다. 그럼 왜 원리적으로 직접 기술할 수 없느냐. 제논의 역설을 생각해보면 이해가 되는 건데, 순환논증 혹은 귀납추론이기 때문입니다. 구조론에서 직접 논의된 적은 없지만, 귀납추론은 일종의 순환논증이라고도 볼 수 있습니다. 원리적으로 계의 점프가 없기 때문입니다. 내부에서 무한 추론만 일어나는 거죠.

원인이 뭐지? 어라 내 눈 앞에 있는 게 원인이구나. 그 눈 앞에 있는 놈도 마찬가지로 원인이 뭐지? 그래 바로 니가 원인이구나 하면서 무한 순환 논증이 되는 게 귀납추론입니다. 제가 하려는 말은 순환논증과 극한이 같다는 것이며, 그게 제논의 역설이 수학적으로 표현된 것이라는 겁니다. 그리고 이 방법으로는 절대로 차원 점프가 불가능하다는 겁니다. 왜냐면 상대방만 쳐다보고 있기 때문입니다.

그럼 미분은 어떻게 그게 되냐. 제가 글로 자세히 적기는 밤이 너무 늦어서 대강만 말씀드리자면, 그게 입실론-델타논법입니다. 그리고 이 논법은 실제로 칸토어의 방법론과 상당히 유사한 방법론을 사용합니다. 어떤 것이 무엇인지를 논할 때 그것이 아니라 그것을 유도하는 규칙을 말함으로써 그것을 설명하는 방법이죠. 그럼 순환논증이나 무한은 아예 쓸모가 없냐? 그렇지는 않습니다. 우리는 흔히 순환논증을 실생활에서 사용합니다.

순환논증이 일어났다면 상황이 엿됐다고 생각할 수 있는 겁니다. 무한 굴레에 빠지는 거죠. 시시포스의 돌덩이를 굴리는 상황이 됩니다. 탈출할 수 없는 무간지옥에 빠지는 겁니다. 무간지옥(간격이 없다. 끊임없이 이어진다)에 빠져야 인간은 탈출구가 없음을 깨닫고 탈출할 수 있게 되는데, 예전에 지랄 시바견을 무릎사이에 끼고 사육사가 콧잔등을 매우 치는 장면이 유명합니다. 시바견은 순순이 순응해야 그만 때린다는 걸 깨닫는 거죠.